Формулы по финансовой математике
В этом разделе приведем основные формулы, используемые в базовых задачах по курсу финансовой математики (проценты, дисконтирование, рента).
Основные обозначения
$PV$ (present value) - текущая (современная) величина денежной суммы
$FV$ (future value) - будущая (наращенная) величина денежной суммы
$D=FV-PV$ - дисконт
$r, i$ - ставка наращения процентов (дробь)
$n$ - срок
$j$ - номинальная ставка процента
$m$ - количество начислений в год
Формулы начисления процентов
Наращение по простым процентам
Наращенная сумма - это первоначальная сумма с начисленными к концу срока процентами:
$$FV=PV(1+nr),$$где $n$ - срок ссуды, $r$ - процентная ставка.
Если срок операции $n$ задан в днях, а процентная ставка годовая, то полагают
$$ n=\frac{t}{K} $$где $t$ - число дней ссуды, $K$ - временная база начисления процентов (365,366 или 360 дней). Тогда формула принимает вид
$$FV=PV \left(1+\frac{t}{K}r \right),$$В зависимости от применяемой временной базы и способа расчета $t$ (точное по календарю, приближенное - все месяцы по 30 дней), возможны три варианта расчета простых процентов:
- Английская методика: (365/365) – точные проценты с точным числом дней ссуды;
- Французская методика: (360/365) – обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;
- Германская методика: (360/360) – обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.
Наращение по сложным процентам
Наращенная сумма - это первоначальная сумма с начисленными к концу срока процентами:
$$FV=PV(1+r)^n,$$где $n$ - срок операции, $r$ - сложная процентная ставка.
Если начисление производится $m$ раз в год, то
$$FV=PV \left(1+\frac{j}{m} \right)^{nm},$$где $j$ - номинальная процентная ставка, $N=nm$ - общее количество периодов начисления.
Эффективная ставка $r$ – это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и $m$-разовое начисление процентов в течение года по ставке $j/ m$ каждое.
Эквивалентность данных ставок записывается в виде:
$$(1+r)^n = \left(1+\frac{j}{m} \right)^{nm}.$$Отсюда можно вывести выражения для эффективной ставки и номинальной:
$$ r =\left(1+\frac{j}{m} \right)^{m}-1, \quad j=m\left( \sqrt[m]{1+r}-1 \right). $$Наращение по непрерывному проценту
$$FV=PV \cdot e^{r\cdot n}.$$Формулы: дисконтирование
Для формулы простых процентов, сумма ссуды, которую надо выдать в долг чтобы получить в конце срока сумму $FV$, равна
$$ PV = \frac{FV}{1+nr}. $$Для формулы сложных процентов аналогично получаем:
$$ PV = \frac{FV}{(1+r)^n}. $$Для случая начисления $m$ раз в год:
$$ PV = \frac{FV}{ \left(1+\frac{j}{m} \right)^{nm}}. $$Здесь $1/(1+nr)$, $1/(1+r)^n$, $1/(1+j/m)^{nm}$ - дискотный множитель (учетный множитель, дисконтирующий множитель).
Формулы: потоки платежей
GПусть имеется ряд платежей $R_i$, выплачиваемых спустя время $n_i$ после начального времени. Общий срок выплат $n$ лет. Необходимо определить наращенную сумму на конец срока. Если проценты начисляются раз в год по сложной ставке $i$, то искомая сумма
$$ S=\sum_{i} R_i (1+i)^{n-n_i}. $$Современная стоимость такого потока находится с помощью дисконтирования:
$$ A=\sum_{i} R_i v^{n_i}, \quad v - \mbox{ дисконтный множитель для ставки } i. $$Между этими величинами (современная стоимость и на конец срока) существует явная зависимость
$$S =A(1+i)^n.$$Пригодится: Примеры решенных задач по финансовой математике
Рента постнумерандо
Для годовой ренты постнумерандо с равными ежегодными платежами в размере $R$, ставкой процента $i$, количеством лет $n$ (взносы в конце года) имеем:
$$ S=R \frac{(1+i)^n-1}{i}; \quad A=R \frac{1-(1+i)^{-n}}{i}. $$Если проценты начисляются $m$ раз в году с номинальной ставкой $j$:
$$ S=R \frac{(1+j/m)^{mn}-1}{(1+j/m)^m-1}, ; \quad A=R \frac{1-(1+j/m)^{-mn}}{(1+j/m)^m-1} $$Для $p$-срочной ренты с выплатами $p$ раз в год суммами по $R/p$:
$$ S=R \frac{(1+j/m)^{mn}-1}{p\left[ (1+j/m)^{m/p}-1\right]}; \quad A=R \frac{1-(1+j/m)^{-mn}}{p\left[ (1+j/m)^{m/p}-1\right]} $$
