Формула числа перестановок с повторениями

Чтобы прийти к нужной формуле, используют одну из общеизвестных постановок задач:

1. Пусть имеется $n$ различных шаров и $k$ ящиков. Сколькими способами можно разложить шары по ящикам так, чтобы $n_1$ шаров оказались в первом ящике, $n_2$ шаров - во втором, ..., $n_k$ шаров - в $k$-ом ящике. $n=n_1+n_2+...+n_k$.

2. Пусть имеется $n$ объектов различных типов: $n_1$ объектов первого типа, $n_2$ объектов второго типа,... $n_k$ объектов $k$-го типа. Сколькими способами можно переставить все объекты между собой?

Будем переставлять $n$ объектов всеми возможными способами (их будет $n!$). Но так как некоторые объекты совпадают, итоговое число будет меньше. В частности, $n_1$ объектов первого типа можно переставлять между собой $n_1!$ способами, но они не меняют итоговую перестановку. Аналогично для всех остальных объектов, поэтому число перестановок с повторениями есть

$$ P_n (n_1,n_2,...,n_k)=\frac{n!}{n_1! \cdot n_2!\cdot ... \cdot n_k!}. $$

Напомним, что символ $n!$ называется факториалом, калькулятор и описание смотрите тут

Заметим, что для случая двух типов объектов $(n=n_1+n_2)$ формула перестановок с повторениями дает как частный случай формулу сочетаний без повторений.

Примеры решений

Рассмотрим решение типовых задач.

Пример 1. Сколькими способами можно собрать гирлянду из 4 красных, 4 синих и 8 желтых флажков?

Решение. У нас имеется $n_1=4$ объекта первого типа (красные флажки), $n_2=4$ объекта второго типа (синие флажки) и $n_3=8$ объектов третьего типа (желтые флажки). Все эти $n=4+4+8=16$ флажков нужно развесить на веревке всеми возможными способами. Применяем формулу числа перестановок с повторенями:

$$ P_{16} (4,4,8)=\frac{16!}{4! \cdot 4!\cdot 8!}=900900.$$

Пример 2. Сколькими способами можно разбить группу 10 друзей на команды из 2 бандитов, 2 полицейских, 1 сыщика и 5 прохожих для игры?

Решение. В самой задаче объекты (люди) уже разбиты по типам: $n_1=2$, $n_2=2$, $n_3=1$, $n_4=5$. Осталось лишь применить формулу. Тогда искомое число способов разбиться на персонажи равно:

$$ P_{10} (2,2,1,5)=\frac{10!}{2! \cdot 2!\cdot 1!\cdot 5!}=7560.$$

Калькулятор перестановок с повторениями онлайн

Введите число типов объектов $K$ и затем количество объектов каждого типа $n_1$, ..., $n_K$.

Видеоролик о перестановках с повторениями в Excel

Посмотрите наш видеообзор для формулы перестановок с повторениями: как использовать Excel, как решать типовые задачи.

Расчетный файл из видео можно бесплатно скачать

Полезные ссылки

• Как решать задачи по теории вероятностей
• Основные формулы комбинаторики
• Решенные примеры по теории вероятностей
• Заказать контрольную по ТВ

Решебник по комбинаторике и теории вероятностей: