Схема Бернулли в вычислении вероятностей
В статье о гипергеометрической схеме мы рассмотрели испытания, где выбор объектов (шаров, билетов, книг и т.п.) производится без возвращения. Теперь перейдем к случаю, когда после каждого выбора объект возвращается обратно, то есть каждый опыт будет проводится в одних и тех же условиях. В теории вероятностей это называется схемой независимых повторных испытаний или схемой Бернулли. Например, вынули шар, посмотрели цвет, положили обратно; вынули лампу, проверили работоспособность, положили обратно и т.п.
К этому же классу задач можно отнести еще большую группу задач, где проверяется/испытывается несколько одинаковых объектов (например, бросается 10 монет, проверяется 5 моторов, включается 8 лампочек, покупается 3 лотерейных билета и т.п.), при этом вероятность того, что объект удовлетворит определенному условию (выпадет герб, мотор заработает, лампочка перегорит, билет будет с выигрышем и т.п.) одинакова для каждого объекта и не зависит от состояния остальных (монеты падают или лампы перегорают независимо друг от друга).
Для большей ясности, рассмотрим две задачи:
1. Среди лотерейных билетов 13 выигрышных и 10 билетов без выигрыша. Взято 7 билетов. Какова вероятность, что среди них 5 выигрышных?
2. Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,05. Какова вероятность того, что выиграет хотя бы один билет из 5 купленных?
В первой задаче мы выбираем последовательно 7 билетов, без возвращения (см. пример расчета такой вероятности тут), а во второй имеется 5 одинаковых объектов (билетов), вероятность выигрыша по каждому одинакова, значит, речь идет как раз о схеме независимых повторных испытаний.
Формула Бернулли
В общем виде схема повторных испытаний записывается в виде задачи:
Пусть производится $n$ опытов, вероятность наступления события $A$ в каждом из которых равна $p$. Найти вероятность, что событие $A$ наступит в точности $k$ раз.
Вероятность вычисляется по формуле Бернулли: $$ P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}. \qquad (1) $$
Подробнее про формулу Бернулли и примеры на ее применение можно почитать в онлайн-учебнике. Мы же перейдем частным случаям задач, каждая из которых может быть решена по этой формуле. Переходя по ссылке, вы найдете общую постановку задачи, несколько решенных примеров, а также калькулятор для решения своей задачи:
Еще: считаем в Excel по формуле Бернулли.
Калькуляторы на формулу Бернулли
- Задача про партии в шахматы
- Задача про выстрелы
- Задача про мальчиков и девочек
- Задача про лотерейные билеты
- Задача о наивероятнейшем значении
- Приближенная формула Пуассона
Другие полезные статьи по теории вероятностей:
