Решение задач с помощью формулы Пуассона

Ранее в этом разделе (независимые повторные испытания) мы изучили и общую формулу Бернулли, и применение ее для решения различных задач: про лотереи, рождение детей, выстрелы или игру в шахматы.

И все работает прекрасно, пока речь не заходит о большом числе относительно редких событий. А именно, пусть у нас, скажем, не 10 деталей с вероятностью брака 10%, а 1000 деталей с вероятностью брака 0,1%, нужно найти вероятность того, что в партии одна бракованная деталь. Конечно, можно применить формулу Бернулли непосредственно, но без компьютера расчеты будут сложны даже в самом простом случае:

$$ P_{1000}(1)=C_{1000}^1 \cdot 0.001^1 \cdot (1-0.001)^{1000-1} = 1000 \cdot 0.001 \cdot 0,999^{999} = 0.368. $$

Поэтому, когда число испытаний $n$ велико (обычно десятки, сотни, тысячи), и при этом вероятность $p$ наступления события в каждом испытании крайне мала, так что выполняется условие $np \lt 10$, используют для нахождения вероятности того, в $n$ испытаниях событие наступит ровно $k$ раз, приближенную формулу Пуассона:

$$ P_n(k)=\frac{\lambda^k}{k!}\cdot e^{-\lambda}. \qquad (1) $$

Здесь $\lambda=n \cdot p$ обозначает среднее число появлений события.

Примеры задач с решением на формулу Пуассона

Начнем с того, что решим задачу из второго абзаца не по формуле Бернулли, а по формуле Пуассона, и сравним ответы. Вычислим $\lambda=n\cdot p = 1000\cdot 0.001=1$. Найдем вероятность того, что в партии всего одна бракованная деталь:

$$ P_{1000}(1)=\frac{1^1}{1!}\cdot e^{-1}=e^{-1}=0.368. $$

Ответы совпали.

Пример 1. Вероятность того, что ПК дает сбой при нажатии клавиши, равна 0,0002. Определить вероятность того, что при наборе текста, состоящего из 5000 знаков, не произойдет ни одного сбоя.

Имеем схему Бернулли с параметрами $n=5000$ (знаков в тексте), $p=0.0002$ (вероятность сбоя при наборе знака). Так как $n$ велико, а $p$ мало, можно использовать для вычислений приближенную формулу Пуассона (1).

Вычислим $\lambda=n\cdot p = 5000\cdot 0.0002=1$

Теперь вычислим нужную вероятность того, что при наборе текста, состоящего из 5000 знаков, не произойдет ни одного сбоя:

$$ P_{5000}(0)=\frac{1^0}{0!}\cdot e^{-1}=e^{-1}=0.368. $$

Пример 2. Автомат по продаже воды не срабатывает в среднем в одном случае из тысячи. Какова вероятность того, что он не сработает в трех случаях из ста.

Имеем схему Бернулли с параметрами $n=100$ (количество наблюдаемых случаев), $p=1/1000=0.001$ (вероятность того, что автомат не сработает). Так как $n$ велико, а $p$ мало, так что $\lambda=n\cdot p = 0.1$, можно применить приближенную формулу Пуассона (1) и найти вероятность того, что автомат не сработает в трех случаях из ста

$$ P_{100}(3)=\frac{0.1^3}{3!}\cdot e^{-0.1}=\frac{0.001}{6}\cdot e^{-0.1}=0.0002. $$

Пример 3. Вероятность сбоя в работе банкомата при каждом запросе равна 0,0019. Банкомат обслуживает 2000 клиентов за неделю. Определить вероятность того, что при этом число сбоев не превзойдет 3.

Имеем схему Бернулли с параметрами $n=2000$ (обращений в банкомат), $p=0.0019$(вероятность сбоя при одном обращении). Так как $n$ велико, а $p$ мало, так что $\lambda=n\cdot p = 3.8$, можно использовать для вычисления вероятности формулу Пуассона:

$$ P_{2000}(k \le 3) = P_{2000}(0)+P_{2000}(1)+P_{2000}(2)+P_{2000}(3)= $$ $$ =\frac{3.8^0}{0!}\cdot e^{-3.8}+\frac{3.8^1}{1!}\cdot e^{-3.8}+\frac{3.8^2}{2!}\cdot e^{-3.8}+\frac{3.8^3}{3!}\cdot e^{-3.8}=0.473. $$

Видеоурок и шаблон Excel

Посмотрите наш ролик о решении задач с помощью формулы Пуассона, узнайте, как использовать Excel для решения типовых задач.

Расчетный файл Эксель из видео можно бесплатно скачать и использовать для решения своих задач.

Полезные ссылки

• Теория и примеры о формуле Пуассона в учебнике
• Примеры контрольных по теории вероятностей
• Решим ваши задачи по вероятности

Найдите готовые задачи в решебнике: